delta関数について

最終目標は $\delta(x^2)$ はどうなるか、ということ。

公式 $\delta(f(x))=\displaystyle\sum\frac{1}{f^{\prime}(x_n)}\delta(x-x_n)$

$f(x)=0$ の解を $x=x_n$ とすると、この点周りでTaylor展開の1次まで取る(←何で？)と出る。その際 $\delta(ax)=\displaystyle\frac{1}{|a|}\delta(x)$ を使う。
当然ながら、分母がnonzeroという条件がないと不味い。
そこで本題に戻ると、 $x^2=0$ の根 $x=0$ で微係数はzero。さてどうしたものか？上の公式をもう一度見直せば解決できるのか？